Problem-Solution: Field Quotien Dari Sebuah Integral Domain
- Bangunlah field quotient dari integral domain \(D = \{n + mi|n,m \in \mathbb{Z}\}\)
Solusi: Jika \(n+mi \in \mathbb{Z}\) dan \(p+qi \in \mathbb{Z}\), maka $$\begin{align}\frac{n+mi}{p+qi}&=\frac{(n+mi)(p-qi)}{p^2+q^2}\\ &=(\frac{np+mq}{p^2+q^2})+(\frac{(mp-nq)}{p^2+q^2})i\\ &=r+si, \ {\rm dengan} \ r,s \in \mathbb{Q}\end{align}$$ Jadi dapat dikatakan \(F=\{r+si|r,s \in \mathbb{Q}\}\). Jelas bahwa \((a/b) + (c/d)i = (ad + cbi)/(bd)\) adalah pecahan dari dua elemen \(D\). - Bangunlah field quotient dari integral domain $D = \{n + m \sqrt{2}|n,m \in \mathbb{Z}\}$
Solusi: Dengan cara yang sama dengan soal di atas, $F = \{r + s \sqrt{2} | r, s \in \mathbb{Q}\}$. - Misalkan $R$ ring komutatif, dan $T \neq \{0\}$ adalah subset tak
kosong dari $R$ yang tertutup terhadap operasi perkalian dan tidak
memuat pembagi nol. Jika $Q(R, T) = \{[(r, t)]|r \in R, t \in T\}$,
maka:
- tunjukkan bahwa $Q(R, T)$ memiliki unity bahkan walaupun
$R$ tidak memiliki
Solusi: Karena $T$ tidak kosong, maka ada $a \in T$. Karena $[(a, a)][(b, c)] = [(ab, ac)] \sim [(b, c)]$ dengan fakta bahwa $abc = acb$ dalam ring komutatif $R$ maka $[(a, a)]$ adalah unity dalam $Q(R, T)$ - tunjukkan bahwa dalam $Q(R, T)$, setiap
pasang elemen tak nol dari $T$ membentuk sebuah unit.
Solusi: Misalkan sebuah elemen tak nol $a \in T$ di representasikan dengan $[(aa, a)]$ dalam $Q(R, T)$. Karena $T$ tidak memiliki pembagi nol maka $[(a, aa)] \in Q(R, T)$. Perhatikan bahwa $[(aa, a)][(a, aa)] = [(aaa, aaa)] \sim [(a, a)]$ ( $[(aaa, aaa)] \sim [(a, a)]$ karena $aaaa = aaaa$). Mengacu pada part (a), $[(a, a)]$ adalah unity dalam $Q(R, T)$. Karena $Q(R, T)$ komutatif, maka $[(a, aa)][(aa, a)]$ juga merupakan unity. Jadi $a \in T, a \neq 0$ membentuk unit dalam $Q(R, T)$.
- tunjukkan bahwa $Q(R, T)$ memiliki unity bahkan walaupun
$R$ tidak memiliki
- Buktikan bahwa setiap ring komutatif yang memuat sebuah
elemen $a$ yang bukan pembagi nol, dapat dikembangkan menjadi ring
komutatif dengan unity.
Solusi: Kita hanya perlu mengambil $T = \{a^n | n \in \mathbb{Z}^+\}$ pada soal di atas. - Berapa banyaknya elemen dalam ring $Q(\mathbb{Z}_4, \{1, 3\})$
?
Solusi: Ring ini hanya memiliki empat element. Ingat bahwa $(a, 1)$ ekivalen dengan $a$, untuk $a \in \mathbb{Z}_4$. Selanjutnya, $(0, 3) = (0, 1)$ dan jelas bahwa, $(3, 3) = (1, 1)$, $(1, 3) = (3, 1)$ karena $3 \cdot 3 = 1 = 1 \cdot 1$, dan $(2, 3) = (2, 1)$ karena $2 \cdot 1 = 3 \cdot 2$ dalam $\mathbb{Z}_4$. - Uraikan ring $Q(\mathbb{Z}, \{2^n|n \in \mathbb{Z}^+\})$ dengan mendeskripsikan
sebuah subring $R$ yang isomorphis terhadapnya.
Solusi: ring $Q(\mathbb{Z}, \{2^n|n \in \mathbb{Z}^+\})$ isomorfis dengan ring $D=\{q \in \mathbb{Q} | q = m/2^n \ {\rm dengan} \ m,n \in \mathbb{Z}\}$, yaitu himpunan semua bilangan rasional yang dapat diekspresikan sebagai pecahan bilangan bulat dengan penyebut $2^n$. - Uraikan ring
$Q(3\mathbb{Z}, \{6^n|n \in \mathbb{Z}^+\})$ dengan mendeskripsikan
sebuah subring $R$ yang isomorphis terhadapnya.
Solusi: ring $Q(3\mathbb{Z}, \{6^n|n \in \mathbb{Z}^+\})$ isomorfis dengan semua bilangan rasional yang dapat diekspresikan sebagai pecahan bilangan bulat dengan penyebut $6^n$
