Review definisi barisan Cauchy:
Barisan $X=(x_n)$ disebut barisan Cauchy jika untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat bilangan asli
$K(\varepsilon)$ sedemikian hingga berlaku
$$\begin{align}|x_n-x_m|<\varepsilon\end{align}$$
untuk setiap $m,n \geq K(\varepsilon)$
Review definisi barisan Kontraktif:
Barisan bilangan real $X = (x_n)$ dikatakan kontraktif jika ada bilangan real $C$ dengan $0 < C < 1$
sehingga
$$\begin{align}
|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq C|x_{n+1}-x_n|
\end{align}$$
untuk setiap bilangan asli $n$. Kita sebut saja bilangan $C$ sebagai
kontraktornya.
- Tunjukkan bahwa barisan
$(x_n=1+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!})$ merupakan barisan Cauchy !
Jawab:
Jika diambil $m>n$,
$$\begin{align}
|x_m-x_n|&=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\ldots+\frac{1}{m!}\\
&\leq \frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{m-1}}, \ \ \ {\rm karena} \ 2^{r-1}\leq r!\\
&=\frac{1}{2^{n}}(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{m-n-1}})\\
&=\frac{1}{2^{n}}(\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}})=\frac{1}{2^{n}}(2-\frac{1}{2^{m-n-1}})\\
&< \frac{1}{2^{n-1}}
\end{align}$$
Selanjutnya, jika diberikan $\varepsilon >0$, ada
$K=K(\varepsilon)>1+^2log\frac{1}{\varepsilon}$ sedemikian hingga
untuk $n \geq K$
$$\begin{align}
n >1+^2log\frac{1}{\varepsilon} &\Leftrightarrow n-1
>^2log\frac{1}{\varepsilon}\\
&\Leftrightarrow 2^{n-1}>\frac{1}{\varepsilon}\\
&\Leftrightarrow \frac{1}{2^{n-1}}<\varepsilon
\end{align}$$
Sehingga untuk $m,n \geq K$,
$$\begin{align}
|x_m-x_n|< \frac{1}{2^{n-1}} < \varepsilon
\end{align}$$
Jadi, terbukti bahwa $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy. - Jika $x_1>0$ dan $x_{n+1}=(2+x_n)^{-1}$ untuk $n \geq 1$,
tunjukkan bahwa $(x_n)$ merupakan barisan kontraktif dan tentukan
nilai limitnya!
Jawab:
Karena $x_1>0$, maka dengan induksi dapat dibuktikan bahwa
$x_n>0$ (Misalkan $x_k>0$ maka $x_k+2>0$, oleh karenanya
$x_{k+1}=\frac{1}{x_k+2}>0$). Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$\begin{align}
|x_{n+2}-x_{n+1}|&=|\frac{1}{2+x_{n+1}}-\frac{1}{2+x_{n}}|=|\frac{2+x_n-2-x_{n+1}}{(2+x_{n+1})(2+x_n)}|\\
&=\frac{1}{4+2(x_{n+1}+x_n)+x_{n+1}x_n}|x_{n+1}-x_n|\\
&\leq \frac{1}{4}|x_{n+1}-x_n|
\end{align}$$
Karena ada $C=\frac{1}{4}$ sedemikian hingga $|x_{n+2}-x_{n+1}| \leq
|x_{n+1}-x_n|$, maka dapat disimpulkan bahwa $(x_n)$ merupakan
barisan kontraktif dan oleh karenanya ia konvergen. Untuk mencari
nilai limitnya, misalkan bahwa $x=$ lim $(x_n)$, maka
$$\begin{align}
&{\rm lim} \ (x_{n+1})= {\rm lim} \ (\frac{1}{2+x_n})\\
&\Leftrightarrow x=\frac{1}{2+x}\\
&\Leftrightarrow 2x+x^2=1\\
&\Leftrightarrow x^2+2x-1=0\\
&\Leftrightarrow x_{1,2}= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$$
Karena $x_n>0,\forall n \in \mathbb{N}$ maka $x=-1+\sqrt{2}=$ lim
$(x_n)$.
0 komentar:
Posting Komentar