Problem - Solution Cauchy Sequence

Review definisi barisan Cauchy:

Barisan $X=(x_n)$ disebut barisan Cauchy jika untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat bilangan asli
$K(\varepsilon)$ sedemikian hingga berlaku

$$\begin{align}|x_n-x_m|<\varepsilon\end{align}$$
 untuk setiap $m,n \geq K(\varepsilon)$

Review definisi barisan Kontraktif:
Barisan bilangan real $X = (x_n)$ dikatakan kontraktif jika ada bilangan real $C$ dengan $0 < C < 1$
sehingga
$$\begin{align} |x_{n+2}-x_{n+1}|\leq C|x_{n+1}-x_n| \end{align}$$
untuk setiap bilangan asli $n$. Kita sebut saja bilangan $C$ sebagai
kontraktornya.

1. Tunjukkan bahwa barisan
   $(x_n=1+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!})$ merupakan barisan Cauchy !
   Jawab:
   Jika diambil $m>n$,
   $$\begin{align} |x_m-x_n|&=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\ldots+\frac{1}{m!}\\ &\leq \frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{m-1}}, \ \ \ {\rm karena} \ 2^{r-1}\leq r!\\ &=\frac{1}{2^{n}}(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{m-n-1}})\\ &=\frac{1}{2^{n}}(\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}})=\frac{1}{2^{n}}(2-\frac{1}{2^{m-n-1}})\\ &< \frac{1}{2^{n-1}} \end{align}$$
   Selanjutnya, jika diberikan $\varepsilon >0$, ada
   $K=K(\varepsilon)>1+^2log\frac{1}{\varepsilon}$ sedemikian hingga
   untuk $n \geq K$
   $$\begin{align} n >1+^2log\frac{1}{\varepsilon} &\Leftrightarrow n-1 >^2log\frac{1}{\varepsilon}\\ &\Leftrightarrow 2^{n-1}>\frac{1}{\varepsilon}\\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2^{n-1}}<\varepsilon \end{align}$$
   Sehingga untuk $m,n \geq K$,
   $$\begin{align} |x_m-x_n|< \frac{1}{2^{n-1}} < \varepsilon \end{align}$$
   Jadi, terbukti bahwa $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy.
2. Jika $x_1>0$ dan $x_{n+1}=(2+x_n)^{-1}$ untuk $n \geq 1$,
   tunjukkan bahwa $(x_n)$ merupakan barisan kontraktif dan tentukan
   nilai limitnya!
   Jawab:
   Karena $x_1>0$, maka dengan induksi dapat dibuktikan bahwa
   $x_n>0$ (Misalkan $x_k>0$ maka $x_k+2>0$, oleh karenanya
   $x_{k+1}=\frac{1}{x_k+2}>0$). Selanjutnya, perhatikan bahwa
   $$\begin{align} |x_{n+2}-x_{n+1}|&=|\frac{1}{2+x_{n+1}}-\frac{1}{2+x_{n}}|=|\frac{2+x_n-2-x_{n+1}}{(2+x_{n+1})(2+x_n)}|\\ &=\frac{1}{4+2(x_{n+1}+x_n)+x_{n+1}x_n}|x_{n+1}-x_n|\\ &\leq \frac{1}{4}|x_{n+1}-x_n| \end{align}$$
   Karena ada $C=\frac{1}{4}$ sedemikian hingga $|x_{n+2}-x_{n+1}| \leq |x_{n+1}-x_n|$, maka dapat disimpulkan bahwa $(x_n)$ merupakan
   barisan kontraktif dan oleh karenanya ia konvergen. Untuk mencari
   nilai limitnya, misalkan bahwa $x=$ lim $(x_n)$, maka
   $$\begin{align} &{\rm lim} \ (x_{n+1})= {\rm lim} \ (\frac{1}{2+x_n})\\ &\Leftrightarrow x=\frac{1}{2+x}\\ &\Leftrightarrow 2x+x^2=1\\ &\Leftrightarrow x^2+2x-1=0\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}= -1 \pm \sqrt{2} \end{align}$$
   Karena $x_n>0,\forall n \in \mathbb{N}$ maka $x=-1+\sqrt{2}=$ lim
   $(x_n)$.

Posted in: Analisis Real

You Might Also Like :